系统简介
本文主要介绍了连续型随机变量函数从一维到多维的概率密度函数的解法，以及通过各自的常见例题，来使我们对每一种方法有进一步的理解和掌握。通过分布函数求导法，经典公式法，分段区间法，来求解，其中分布函数求导法用的比较普遍，因其所受的条件影响较少，也易于理解。二维随机变量的概率密度主要通过分布函数求导，卷积公式，变量变换，且在变量变换基础上进一步引入增补变量的方法，在卷积公式的基础上推导了连续型二维随机变量的线性函数 的概率密度公式，对于维随机变量函数给出了一般方法和定点方法。 关键词 随机变量 概率密度 积分 分布函数法
1.一维连续随机变量函数的概率密度及其解
1.1随机变量的一般概述 随机变量：也就是有两个变量，它们的值是随机确定的。研究随机变量的根本原因是我们需要研究一些事物中的变量因素。这些因子的值是随机的，但可能有一些规则（例如总是取一些特殊值）。我们需要研究这些规律（如分配规律），并预测这些因素。 引入其目的：因为我们把古典概型描述成了函数的关系，如，，有了函数就可以做积分，做求导运算用微积分来研究一系列问题。随机变量的引入使我们可以用随机变量来描述各种不同的随机实验，这样就把问题统一起来了。 1.2一维随机变量概率密度 概率密度定义：设为随机变量，为的分布函数，当实数轴上存在非负可积函数时，用它直观地描述连续随机变量，使对于任意实数，有 （11） 则称为连续性随机变量，其中称为的概率密度函数，称为概率密度。 但是如何求解函数的概率密度，在概率论与数理统计中经常会遇到和需要解决的问题，一般思路：先求其分布函数，然后再在其基础上进行求导得到概率密度，这中间需要用到高等数学的所学的内容（比如：曲线积分，函数等）。 1.3连续型随机变量的分布的概率密度 均匀分布，其概率密度为： （12） 其在区间上服从均匀分布。如图 1
图 1 分布函数： （13） 如图 2
图 2 指数分布：连续性随机变量的概率密度函数为： 其中>0为常数， （14） 分布函数： （15） 指数函数有重要的一个性质：无记忆性 如图 3
图 3 正态分布：也称高斯分布，其概率密度为： （16） 其中为常数 如图 4
图 4 1.4分布函数的求导法 如果分布函数是连续可微的，分布函数的导数就是概率密度函数。如果是离散的，概率分布函数就是密度函数的和。
